Άλγεβρα Β 1ος τόμος

7 / 22

1ο Κεφάλαιο – Συστήματα
α) Θα ακολουθήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη σχέση (2)
ως προς x και γίνεται: x y 3  (3). Επομένως η (1) λόγω της (3) γίνεται:
 2 2
y 3 y 9   , την οποία και λύνουμε. Έχουμε διαδοχικά:
 2 2 2 2 2
y 3 y 9 y 6y 9 y 9 2y 6y 0            
 
y 0 y 0
2y y 3 0 ή ή
y 3 0 y 3
    
  
       
  
   
  
Επομένως από την (3) είναι:
► Για y 0 : x y 3 0 3 3     
► Για y 3  : x y 3 3 3 0     
Δηλαδή το σύστημα έχει δύο λύσεις:    x,y 3,0 ή     x,y 0, 3  .
Γεωμετρική ερμηνεία:
Η εξίσωση 2 2 x y 9  παριστάνει κύκλο
με κέντρο το   O 0,0 και ακτίνα 3. Η
εξίσωση x y 3  παριστάνει μια
ευθεία. Συνεπώς ο κύκλος με εξίσωση
2 2
x y 9  και η ευθεία με εξίσωση
x y 3  τέμνονται σε δύο σημεία:
  A 3,0 και   B 0, 3 . Για καλύτερη
κατανόηση δίνεται και το διπλανό
γράφημα.
β) Λύνουμε σχέση (2) ως προς y και γίνεται: y 2 x  (3). Η (1) λόγω της (3)
γίνεται:  2
2 x 2 x 4   , την οποία και λύνουμε. Έχουμε διαδοχικά:
    2
2 2 2 2 2 x 2 x 4 x 4 4x x 4 x 4 4x x 4             
4x 4 4 4x 8 x 2       
Επομένως από την (3) είναι:
x 2
y 2 x 0

   . Δηλαδή το σύστημα έχει μοναδική
λύση την    x,y 2,0 .
x
y
A
B
1 O
x2 + y2 = 9
x – y = 3